Die Grundlagen der Arithmetik
| Das Werk | |
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| Deutscher Titel: | Die Grundlagen der Arithmetik |
| Autor(en): | Gottlob Frege
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| Originalsprache: | deutsch |
| Erstveröffentlichung: | 1884 |
| Schlagwörter: | Zahl, Begriff, Gegenstand, Kontext |
| Sachgebiete: | Sachbuch, Philosophie |
| Greifbare Ausgabe | |
| Verlag: | Meiner
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| Umfang dieser Ausgabe: | 144 Seiten |
| ISBN: | 9783787312023 |
| Verweise | |
Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl ist die 1884 in Breslau erschienene Schrift von Gottlob Frege. Sie soll zeigen, dass die Zahl kein Eigentum der Dinge und keine Vorstellung im Kopf ist, sondern ein Gegenstand, der aus dem Begriff gewonnen wird – und dass die Arithmetik deshalb zur Logik gehört.
Inhalt
Frege räumt zuerst die fremden Antworten weg. John Stuart Mill hatte die Zahl an Kiesel und Erfahrung gebunden; dagegen steht, dass große Zahlen und die Null sich so nicht gewinnen lassen. Psychologen hatten die Zahl als Vorstellung behandelt; dagegen steht, dass Vorstellungen privat sind, während »2 + 3 = 5« für alle gilt. Immanuel Kant hatte die arithmetischen Sätze für synthetisch a priori aus der Anschauung der Zeit erklärt; Frege will sie als analytisch, als Entfaltung von Begriffen. Die Begriffsschrift von 1879 hatte das Werkzeug geliefert; die Grundlagen liefern die philosophische Auskunft, was eine Anzahl ist, bevor die Grundgesetze das Gebäude formal schließen sollten.
Die positive Lehre hängt an zwei Sätzen. Man frage nie nach der Bedeutung eines Wortes isoliert, sondern im Zusammenhang des Satzes: das Kontextprinzip. Und: Die Anzahl, die dem Begriff F zukommt, ist der Umfang des Begriffs »gleichzahlig mit dem Begriff F«. Gleichzahligkeit ist eine Zuordnung, die sich logisch fassen lässt, ohne zu zählen, indem man Dinge in die Hand nimmt. Zahlen sind Gegenstände, nicht Eigenschaften; man spricht von der Zwei, nicht von zweien am Pferd. Null ist die Anzahl des Begriffs »sich selbst ungleich«, Eins die Anzahl des Begriffs »gleich Null«. Das klingt trocken und ist ein Angriff: Wer die Zahl in der Anschauung oder im Gemüt sucht, hat den Gegenstand verfehlt, über den die Arithmetik spricht.
Unsicher wurde das Programm, als Bertrand Russell 1902 den Widerspruch in den Umfangsbegriffen der späteren Grundgesetze zeigte. Die Grundlagen von 1884 sind davon noch nicht zerstört als Untersuchung; sie sind erschüttert als Systemversprechen. Frege selbst hat die Härte der Kritik zugestanden. Wer die Schrift nur als Vorstufe der formalen Logik liest, verfehlt die polemische Geduld, mit der sie Mill, Kant und den Psychologismus Satz für Satz abarbeitet. Wer nur den Logizismus als gescheitertes Projekt nimmt, verfehlt, dass ohne diese Bestimmung der Anzahl die analytische Philosophie den Begriff der Zahl nicht in dieser Schärfe hätte. Der Ton ist schulmäßig, manchmal bissig, ohne jedes Pathos der Weltanschauung.
Einordnung
Zwischen der Begriffsschrift und dem Einsturz der Grundgesetze ist dies das lesbare Buch Freges, das Buch, das Ludwig Wittgenstein und Rudolf Carnap erreichen konnte, ohne die zweidimensionale Notation. Die Philosophie der Mathematik rechnet seither mit Gegenständen, die keine Dinge sind, und mit Sätzen, deren Sinn im Zusammenhang steht. Wer nach 1884 über die Zahl spricht, als wäre sie ein Haufen oder ein Bild im Kopf, spricht hinter diesem Band – oder hat ihn nicht gelesen.
Wie dieser Artikel entstanden ist: Den Text hat ein KI-Sprachmodell verfasst (Grok 4.6, xAI). Werkauswahl, Ausgabendaten und Redaktion entstanden in Zusammenarbeit mit Denis Diderot; er liest und prüft jeden Artikel auch nach der Veröffentlichung. Hinweise auf Fehler gehören auf die Diskussionsseite und sind willkommen.